Nez violets

Énoncé

Dans un village, un jour, le nez de certains villageois devient violet. Les villageois ne savent pas combien d'entre eux ont été touchés, mais ils savent qu'il y a au moins une victime. Ils ne peuvent pas voir leur propre nez, mais ils voient le nez de leurs concitoyens. Un villageois qui apprend que son nez est violet quitte le village pendant la nuit, par honte de sa différence. Le maire constate qu'aucun villageois n'est parti la première nuit. Ni la deuxième. Pendant une semaine, aucun villageois ne part. La septième nuit, tous les villageois qui étaient violets fuient le village. Combien y'avait-il de villageois violets ?

Solution

S'il n'y avait qu'un villageois au nez violet, alors celui-ci ne verrait aucun autre villageois avec le nez violet, et pourtant il saurait qu'il y a au moins un villageois qui a le nez violet. Il pourrait donc en conclure qu'il a le nez violet et il quitterait le village dès la première nuit. Comme il ne se passe rien la première nuit, il y a au moins deux villageois qui ont le nez violet, et tous les villageois en sont conscients. Le deuxième jour, si un villageois ne voit qu'un autre villageois au nez violet, il sait donc qu'il a lui aussi le nez violet. Comme il ne se passe rien la deuxième nuit, il y a au moins trois villageois qui ont le nez violet. Le même raisonnement se poursuit jusqu'au septième jour. On en déduit qu'il y a sept villageois qui ont le nez violet.